Iterasi Gauss Seidel

Metode iterasi Gauss-Seidel untuk menyelesaikan sistem persamaan linear

Suatu sistem persamaan linear terdiri atas sejumlah berhingga persamaan linear dalam sejumlah berhingga variabel. Menyelesaikan suatu sistem persamaan linier adalah mencari nilai-nilai variabel yang belum diketahui yang memenuhi semua persamaan linier yang diberikan.

Rumus iterasi untuk hampiran ke-k pada metode iterasi Gauss-Seidel adalah sebagai berikut. Untuk i = 1, 2, …, n dan k = 1, 2, 3, …,

Algoritma Iterasi Gauss-Seidel

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linier AX = b dengan A adalah matriks koefisien n × n , b vektor konstanta n × 1 , dan X vektor n × 1 yang perlu di cari.

INPUT : n, A, b dan hampiran awal Y = (y₁ y₂ y₃ ...y_n)^T, batas toleransi T dan maksimum iterasi N.

OUTPUT : X = (x₁ x₂ x₃ ...x_n)^T atau pesan "gagal".

LANGKAH-LANGKAH :

1. Set penghitung iterasi k = 1

2. WHILE k <= N DO

(a) FOR i = 1, 2, 3, ..., n, hitung :

(b) Set X = (x₁ x₂ x₃ ...x_n)^T

(c) IF ||X - Y|| <>

(d) Tambah penghitung iterasi, k = k + 1

(e) FOR i = 1, 2, 3, ..., n, Set y_i = x_i

(f) Set Y = (y₁ y₂ y₃ ...y_n)^T

3. Tulis pesan "metode gagal setelah N iterasi"

4. STOP.

Implementasi dengan MATLAB

function [X1,g,H] = seidel(A,b,X0,T,N)

H = X0';

n = length(b);

X1 = X0 ;

for k=1:N,

for i=1:n,

S=b(i)-A(i,1:i-1)*X1(1:i-1)-A(i,i+1:n)*X0(i+1:n);

X1(i)=S/A(i,i);

end

g=abs(X1-X0);

err=norm(g);

relerr=err/(norm(X1)+eps);

X0=X1;

H=[H,X0'];

if(err

end

Contoh

Sebagai gambaran misalkan mencari penyelesaian SPL

10x₁ - x₂ +2x₃=6

-x₁+11x₂-x₃+3x₄=25

2x₁-x₂+10x₃-x₄=-11

3x₂-x₃+8x₄=15

Berikut pemakaian fungsi MATLAB seidel untuk penyelesaian soal di atas dan keluaran yang diperoleh :

>> A=[10 -1 2 0;-1 11 -1 3;2 -1 10 -1;0 3 -1 8]

A =

   10    -1     2     0

 -1    11    -1     3

  2    -1    10    -1

  0     3    -1     8

>> b=[6;25;-11;15]

b =

    6

 25

-11

 15

>> X0=[0;0;0;0]

X0 =

    0

  0

  0

  0

>> T=0.0001;N=25;

>> [X,g,H]=seidel(A,b,X0,T,N)

X =

   1.0000

 2.0000

-1.0000

 1.0000

g =

 1.0e-004 *

 0.8292

 0.2017

 0.2840

 0.1111

H =

 Columns 1 through 5

      0         0         0         0    0.6000

Columns 6 through 10

 2.3273   -0.9873    0.8789    1.0302    2.0369

Columns 11 through 15

-1.0145    0.9843    1.0066    2.0036   -1.0025

Columns 16 through 20

 0.9984    1.0009    2.0003   -1.0003    0.9998

Columns 21 through 25

 1.0001    2.0000   -1.0000    1.0000    1.0000

Columns 26 through 28

 2.0      -1.0000    1.0000

Proses iterasi dapat diulangi sampai tingkat keakuratan yang diinginkan tercapai, penyelesaian eksak contoh di atas adalah (1, 2, -1, 1).